El principal objetivo del trabajo es predecir la evolución en el tiempo de la función de distribución de las gotas n(x), como función del tiempo y la altura, donde x es la masa de las gotas. En este caso n(x)dx denota el numero de gotas por unidad de volumen con masas en el intervalo (x,x+dx), en un tiempo dado.
Con esta función, la razón de mezcla de agua líquida es la siguiente:
(5)
La variación de la función n(x) en el tiempo está dada por los factores que se tratarán a continuación.
Activación de núcleos de condensaciónCrecimiento de las gotas por difusiónEn trabajos anteriores se considera ya de forma mucho más explícita la formación del espectro inicial por activación, por ejemplo Hall (1980) calcula la cantidad de núcleos activados a partir de la sobresaturación en cada paso del modelo que pasan a formar gotas de radio crítico. Realmente la cantidad de núcleos activados durante la formación de las gotas y los cristales es una función de la sobresaturación. Arnason y Greenfield (1972), en un modelo bastante temprano ya consideraban la cantidad de gotas activadas dada una sobresaturación y la distribución de las mismas para los casos marítimo y continental. El enfoque de Arnason y Greenfield (1972) es uno de los mas completos y es empleado por muchos autores como Kogan et. al. (1984), estos autores además consideran la evolución dinámica de las gotas activadas que son caracterizadas por 19 categorías, dos más que las utilizadas por Arnason y Greenfield (1972). Los problemas fundamentales que se generan en estos casos están relacionados con los pasos de tiempo excesivamente pequeños para el cálculo de la difusión de vapor en las gotas recién activadas.
Consideramos que si hay sobresaturación el vapor se condensa instantáneamente en los núcleos de condensación. Este proceso se parametriza considerando una distribución inicial de gotas de nube.
Por tanto, el cambio en la función n(x) debido a la activación de núcleos de condensación está dada por la expresión:
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donde la función f(x) está normalizada a 1. La función fconc es la concentración inicial de núcleos de condensación.
En este trabajo consideramos la función de distribución del tipo:
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donde x es la masa de las gotas. El valor de x0 (2x10-8 gramos), es la masa media de las gotas definidas por esta distribución , que se corresponde con un contenido de agua de un gramo en un kilogramo de masa de aire. La concentración inicial de núcleos se expresa en núcleos por centímetro cúbico (cm-3). El hecho de parametrizar la distribución inicial de las futuras gotas activadas es una de las limitantes del modelo
En próximas versiones del modelo esta limitación será corregida. En la actualidad se elabora una variante explícita para la activación que tiene en cuenta la cantidad de gotas y su distribución en función de la sobresaturación.
Proceso de coalescenciaEl crecimiento de las gotas por difusión ocurre cuando el aire está sobresaturado y existen gotas de nube. En caso de existir subsaturación ocurre evaporación.
Al ocurrir la condensación el numero de gotas debe conservarse, esto es equivalente a la condición:
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El cambio en la función de distribución debido al incremento de masa de las gotas está dado por la ecuación:
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Y para el incremento de una gota de masa x cayendo en el aire se cumple:
(10)
Donde D es el coeficiente de difusión, Qvs es la razón de saturación, F es el coeficiente de ventilación, Rv la constante del gas, y s la razón de sobresaturación. El coeficiente de ventilación se calcula según la fórmula:
(11)
Donde Pr y Re son los números de Prandtl y Reynolds respectivamente.
FragmentaciónUna vez que las gotas están formadas, comienza el proceso de colección, que junto con la evaporación y la condensación descritas anteriormente hace cambiar la forma de la función de distribución.
El proceso de colección estocástico se describe por la ecuación:
(12)
donde K(x,y) es el núcleo de colección que para el caso de la colección gravitatoria tiene la forma:
(13)
En la fórmula anterior Vx y Vy son las velocidades de caída de las gotas. E(x,y) es el coeficiente de colección, que es igual al producto de la eficiencia de colisión por la eficiencia de coalescencia. El primer término es el incremento de gotas en la categoría x por colisión de gotas de masa y con gotas de masa x-y. La segunda integral refleja la pérdida de gotas de masa x por colisiones con gotas de las restantes categorías. El núcleo de colección utilizado en nuestro trabajo es el (13), pero debemos señalar que existen otras formas de la función K(x,y),como por ejemplo la propuesta por Golovin (1963), que es igual a la suma de las masas K(x,y)=c(x+y);
Para la velocidad de caída de las gotas in cm s-1 se utilizan las expresiones:
VT=1.26 x 106 r2 para r<40m m (14)
VT=8000 r para 40m m £ r<500m m (15)
VT=1400 (2r) 1/2 para r³ 500m m (16)
Donde (14) es la ecuación de Stokes.
La justificación teórica de la ecuación de coalescencia estocástica ha sido dada por Scott (1967,1968) y Gillespie (1972) y ha sido discutida de forma bastante profunda por Pruppacher y Klett (1997). Estos estudios concluyen que las soluciones de la ecuación (12) son determinísticas y reflejan una promediación del comportamiento esperado, es por eso que en ocasiones se utiliza el término de cuasi-estocástico para describir las soluciones de la ecuación (12).
Las eficiencias de colisión son las utilizadas por Hall (1980) y son descritas con lujo de detalles en su trabajo.
Evolución temporal del espectro de gotasLas gotas que alcanzan un tamaño crítico dentro de la nube son inestables y tienden a romperse en gotas más pequeñas provocando incrementos en las concentraciones para los radios pequeños. Existen dos tipos de fragmentación, la espontánea y la hidrodinámicamente inducida. Cuando se modela la variante espontánea se postula una probabilidad de rompimiento de la gota que se incrementa con el incremento de la masa.
Srivastava (1971) utilizó un formalismo muy popular entre los modeladores y adoptado por Ogura y Takahashi (1973), Kogan et. al. (1984) y otros basándose en las funciones de probabilidad obtenidas experimentalmente por Komabayashi et. al. (1964) y que tienen la forma:
P(x)=2.94x10-7 exp(34rx) (17)
donde rx es el radio de la gota de masa x. P(x) representa la probabilidad de rompimiento de una gota de masa x en la unidad de tiempo y la función:
Q(x,y)=(ab/3x)(rx/ry)exp(-brx/ry) (21)
representa la probabilidad de que una gota de masa y, por rompimiento, genere una gota de masa x en la unidad de tiempo.
En este trabajo se utiliza el formalismo para la fragmentación espontánea elaborado y descrito por Danielsen et. al. (1972). El proceso es parametrizado de forma tal que las gotas mayores que un radio determinado se redistribuyen instantáneamente de acuerdo a un espectro dado. El por ciento de masa colocado en cada categoría es descrito cuidadosamente por Hall (1980).
Núcleos de condensaciónLa evolución temporal del espectro es por tanto igual a la suma de todos estos procesos, además de los factores dinámicos que influyen en el mismo. El espectro se somete por tanto a una ecuación de conservación similar a la ecuación para la precipitación en el modelo parametrizado de Alfonso et.al. (1998) que tiene la forma:
Donde los últimos sumandos representan la variación del espectro por activación, condensación y evaporación, coalescencia y fragmentación.
El número de núcleos de condensación decrece cuando se forman gotas alrededor de los mismos. Ogura y Takahashi (1973) también consideraron el aumento de los núcleos de condensación cuando las gotas decrecen por debajo de un radio crítico que ellos consideraron igual a 4mm. En este caso se considera que no se generan núcleos cuando las gotas, durante la evaporación, alcanzan un radio inferior a 1mm. Por tanto la concentración de núcleos debe variar por activación y por causas puramente dinámicas.
